Analysis Beispiele

$y = \sqrt[5]{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ als ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5} \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}})$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{5}})$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{5}})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{9}{5}}$ und $\frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{25}$

Schritt 2.11.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{9}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Schritt 2.11.3

Bringe $x^{- \frac{9}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{4}{25}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$ als ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{5} \cdot - 1}$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{9}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{9}{5}$ und $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9 \cdot - 1}{5}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 9}{5}}$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{9}{5}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 5}{5}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 9$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 14}{5}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{14}{5}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{14}{5}}$ und $\frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5})$

Schritt 3.10

Multipliziere.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{4}{25}) \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\frac{4}{25}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{4}{25} \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $\frac{4}{25}$ mit $\frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$ .

$f''' (x) = \frac{4 (x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9)}{25 \cdot 5}$

Schritt 3.12

Multipliziere.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{25 \cdot 5}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{125}$

Schritt 3.12.3

Bringe $x^{- \frac{14}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{36}{125}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$ nach $x$ gleich $\frac{36}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}})$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}$ als ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ um.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1})$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14}{5} \cdot - 1})$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $\frac{14}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{14}{5}$ und $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14 \cdot - 1}{5}})$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 14}{5}})$

Schritt 4.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{14}{5}})$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 1 \cdot 5}{5}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 5}{5}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $5$ von $- 14$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 19}{5}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{19}{5}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $x^{- \frac{19}{5}}$ und $\frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5})$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $\frac{36}{125}$ mit $\frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{36 (x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14)}{125 \cdot 5}$

Schritt 4.11

Multipliziere.

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Schritt 4.11.1

Mutltipliziere $14$ mit $36$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{125 \cdot 5}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $125$ mit $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{625}$

Schritt 4.11.3

Bringe $x^{- \frac{19}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504}{625 x^{\frac{19}{5}}}$