Analysis Beispiele

$f (x) = (1 + 9 x^{2}) (x - x^{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + 9 x^{2}$ und $g (x) = x - x^{2}$ .

$(1 + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 9 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Schritt 2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Schritt 2.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.10

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x - x^{2}$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 9 \cdot (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 9 (x - x^{2}) (2 x)$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 18 (x - x^{2}) x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1