Analysis Beispiele

$f (x) = (4 x - 2) e^{2 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x - 2$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

$(4 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$(4 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(4 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$(4 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(4 x - 2) e^{2 x}$ .

$2 \cdot ((4 x - 2) e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + 0)$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1

Addiere $4$ und $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 4$

Schritt 3.9.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + 4 \cdot e^{2 x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (4 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$8 x e^{2 x} - 4 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Schritt 4.3.3

Addiere $- 4 e^{2 x}$ und $4 e^{2 x}$ .

$8 x e^{2 x} + 0$

Schritt 4.3.4

Addiere $8 x e^{2 x}$ und $0$ .

$8 x e^{2 x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $8 x e^{2 x}$ um.

$8 e^{2 x} x$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $8 e^{2 x} x$ um.

$8 x e^{2 x}$