Analysis Beispiele

$f (x) = \csc^{4} (2 x^{2} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \csc (2 x^{2} + 1)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (2 x^{2} + 1)$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{2} + 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{2} + 1$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{2} + 1$ .

$4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (- \csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x^{2} + 1) (\csc (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Schritt 4

Potenziere $\csc (2 x^{2} + 1)$ mit $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x^{2} + 1) \csc^{3} (2 x^{2} + 1)) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 {\csc (2 x^{2} + 1)}^{1 + 3} (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Schritt 6

Addiere $1$ und $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) (\cot (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x + 0)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) (4 x)$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$

Schritt 12.3

Stelle die Faktoren von $- 16 \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1) x$ um.

$- 16 x \csc^{4} (2 x^{2} + 1) \cot (2 x^{2} + 1)$