Analysis Beispiele

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 6.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

Schritt 12.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{- 4}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{- 4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x}{3 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$