Analysis Beispiele

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 3}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k - \sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{10} 9 - 2 \sum_{k = 1}^{10} k$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{10} 9$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(9) (10)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$90$

Schritt 2.3

Berechne $2 \sum_{k = 1}^{10} k$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 2) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.3.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$- 2 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$- 2 (\frac{110}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{110}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{110}{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 110$

Schritt 2.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $110$ .

$- 110$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$90 - 110$

Schritt 2.5

Subtrahiere $110$ von $90$ .

$- 20$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$9 - 2 \cdot 1 + 9 - 2 \cdot 2$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$9 - 2 + 9 - 2 \cdot 2$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$7 + 9 - 2 \cdot 2$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$7 + 9 - 4$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$7 + 5$

Schritt 3.2.5

Addiere $7$ und $5$ .

$12$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- 20 - 12$

Schritt 5

Subtrahiere $12$ von $- 20$ .

$- 32$