Analysis Beispiele

$e^{\frac{x}{y}} = 9 x - y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (9 x - y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $e^{\frac{x}{y}}$ und $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 - y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 9 - y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ um.

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.3

Bewege $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.4

Stelle $y e^{\frac{x}{y}}$ und $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ um.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (9 - y') y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(9 - y') y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 9 y^{2} - y' y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Stelle $9 y^{2}$ und $- y' y^{2}$ um.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + 9 y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $y' y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = 9 y^{2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $y e^{\frac{x}{y}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ heraus.

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' y^{2}$ heraus.

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ heraus.

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ durch $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ durch $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{9 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{9 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{9 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.5.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ heraus.

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Schritt 5.3.5.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (9 y) - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y e^{\frac{x}{y}}$ heraus.

$y' = \frac{y (9 y) + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (9 y) + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ heraus.

$y' = \frac{y (9 y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.2.2

Schreibe $- 1 e^{\frac{x}{y}}$ als $- e^{\frac{x}{y}}$ um.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x e^{\frac{x}{y}}$ heraus.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

Schritt 5.3.5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.5.3.3.4.1

Schreibe $- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ als $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ um.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Schritt 5.3.5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$