Analysis Beispiele

$f (x) = {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 10 x - 6$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(10 x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(10 x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(10 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 6.3

Bringe ${(10 x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 6]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 8

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 10

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 11

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ und $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{{(10 x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$