Analysis Beispiele

$x {(x - 5)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((x - 5) (x - 5))]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 5) - 5 (x - 5))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Schritt 3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 x + 25)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 10 x + 25$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25] + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 10 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.3

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$x (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.6

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (2 x - 10 + 0) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.7

Addiere $2 x - 10$ und $0$ .

$x (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $x^{2} - 10 x + 25$ mit $1$ .

$x (2 x - 10) + x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 10 + x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6.2.5

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 10 \cdot x + x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 6.2.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x - 10 x + 25$

Schritt 6.2.7

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 20 x + 25$