Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{9 + 4 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 9 + 4 x$ .

$\frac{(9 + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(9 + 4 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $9 + 4 x$ .

$\frac{2 \cdot (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \cdot 1}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (4 x)) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 9 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 (x \cdot x)) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{18 x + 2 (4 x^{2}) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{18 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{18 x + 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x^{2} + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{2} + 18 x$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (2 x) + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x) + 2 x (9)$ heraus.

$\frac{2 x (2 x + 9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$