Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\log_{7} (x)}{x^{4}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \log_{7} (x)$ und $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\log_{7} (x)] - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\log_{7} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{x^{4} \frac{1}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{1}{x \ln (7)}$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (7)$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x (\ln (7))} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$ mit $\frac{\ln (7)}{\ln (7)}$ .

$\frac{\ln (7)}{\ln (7)} \cdot \frac{\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{\ln (7) (\frac{x^{3}}{\ln (7)} - \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (7) \frac{x^{3}}{\ln (7)} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x) (4 x^{3}))}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- 4 \log_{7} (x) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $- 4 \log_{7} (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 9.1.2

Stelle die Faktoren in $x^{3} + \ln (7) (- \log_{7} (x^{4}) x^{3})$ um.

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{\ln (7) x^{8}}$

Schritt 9.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ heraus.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 - x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})}{x^{8} \ln (7)}$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{3} \ln (7) \log_{7} (x^{4})$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- \ln (7) \log_{7} (x^{4}))$ heraus.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) \log_{7} (x^{4}))}{x^{8} \ln (7)}$

Schritt 9.4

Zerlege $\log_{7} (x^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{8} \ln (7)}$

Schritt 9.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8} \ln (7)$ heraus.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

Schritt 9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x)))}{x^{3} (x^{5} \ln (7))}$

Schritt 9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \ln (7) (4 \log_{7} (x))}{x^{5} \ln (7)}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 4 \ln (7) \log_{7} (x)}{x^{5} \ln (7)}$