Analysis Beispiele

$f (x) = {(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt[4]{x^{2} + 1})}^{3}$ als $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x + 0)$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 x)$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{6}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 12.5

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}$ heraus.

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x)}{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{4}}}$