Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x}}{\sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren in $\sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)$ um.

$\frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \sin (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (\sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \cos (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (\sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (\sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$