Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 8}{x - 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 8$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8] - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$