Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 7}{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 7$ und $g (x) = 16 - x^{2}$ .

$\frac{(16 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $16 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Multipliziere.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $x^{2} + 7$ mit $1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) (2 x)}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 7$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 16 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{32 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x$ .

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $- 2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$\frac{32 x + 0 + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $32 x$ und $0$ .

$\frac{32 x + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Addiere $32 x$ und $14 x$ .

$\frac{46 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 16)}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.7.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 4^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Stelle $- x^{2}$ und $4^{2}$ um.

$\frac{46 x}{{(4^{2} - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$\frac{46 x}{{((4 + x) (4 - x))}^{2}}$

Schritt 3.7.4

Wende die Produktregel auf $(4 + x) (4 - x)$ an.

$\frac{46 x}{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}}$