Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 1$ und $g (x) = 2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(2 x - 3) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 3) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 3 x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 6 x + 2$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) - 6 x + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (- 3 x)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 3 x) + 2 (1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} - 3 x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 3 x + 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$