Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x + 7}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x + 7}$ als ${(x + 7)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x + 7$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 7$ .

$- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 3.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- {(x + 7)}^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$