Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3] - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 4 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + 0) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $3 x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{3} - 8 x \cdot x - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 (x \cdot x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $- 8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$