Analysis Beispiele

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 - lim_{t \to 1} t}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.1

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $1$ für $t$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - \sqrt{t}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{t \to 1} 1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{t \to 1} \sqrt{t}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{t \to 1} t}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $1$ für $t$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{t \to 1} \frac{1 - t}{1 - \sqrt{t}} = lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1 - t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1 - \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sqrt{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d t} [- \sqrt{t}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}$

Schritt 1.3.8.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.8.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Schritt 1.3.8.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}$

Schritt 1.3.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.8.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.8.10

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{0 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{t \to 1} \frac{- 1}{- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{t \to 1} - - (2 t^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.5

Schreibe $t^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{t}$ um.

$lim_{t \to 1} - - (2 \sqrt{t})$

Schritt 1.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to 1} - (- 2 \sqrt{t})$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to 1} 2 \sqrt{t}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$2 lim_{t \to 1} \sqrt{t}$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 \sqrt{lim_{t \to 1} t}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $t$ durch Einsetzen von $1$ für $t$ .

$2 \sqrt{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$