Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- 7 x} + 2 x + 10$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{- 7 x} + 2 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 7 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 7 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 7 x$ .

$e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 2.2

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$e^{- 7 x} \cdot - 7 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 2.5

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $e^{- 7 x}$ .

$- 7 e^{- 7 x} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 e^{- 7 x} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 e^{- 7 x} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 7 e^{- 7 x} + 2 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 7 e^{- 7 x} + 2 + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Addiere $- 7 e^{- 7 x} + 2$ und $0$ .

$- 7 e^{- 7 x} + 2$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$2 - 7 e^{- 7 x}$