Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\cos (x)}{x^{5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - \cos (x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{5} (- \sin (x)) - 5 \cos (x) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5} (- \sin (x)) - 5 \cos (x) x^{4}$ heraus.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5} (- \sin (x))$ heraus.

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x))) - 5 \cos (x) x^{4}}{x^{10}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 5 \cos (x) x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x))) + x^{4} (- 5 \cos (x))}{x^{10}}$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} (x (- \sin (x))) + x^{4} (- 5 \cos (x))$ heraus.

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{10}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4} (x (- \sin (x)) - 5 \cos (x))}{x^{4} x^{6}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- \sin (x)) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x \sin (x) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x)) - 5 \cos (x)}{x^{6}}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 \cos (x)$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x)) - (5 \cos (x))}{x^{6}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (x)) - (5 \cos (x))$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x) + 5 \cos (x))}{x^{6}}$

Schritt 6.5

Schreibe $- (x \sin (x) + 5 \cos (x))$ als $- 1 (x \sin (x) + 5 \cos (x))$ um.

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 5 \cos (x))}{x^{6}}$

Schritt 6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \sin (x) + 5 \cos (x)}{x^{6}}$