Analysis Beispiele

$f (x) = e^{\frac{- 1}{x}}$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{1}{x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$e^{- \frac{1}{x}} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$e^{- \frac{1}{x}} (x^{- 2} + 0)$

Schritt 4.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$e^{- \frac{1}{x}} x^{- 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{- \frac{1}{x}}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$