Analysis Beispiele

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Schritt 1

Schreibe ${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ als Funktion.

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ und $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5

Differenziere.

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Schritt 2.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2.1.5.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.5.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.5.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.5.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.5.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.1.5.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

Schritt 2.1.5.14

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ heraus.

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Schritt 2.1.6.1.2

Faktorisiere $1$ aus $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ heraus.

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Schritt 2.1.6.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ heraus.

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Schritt 2.1.6.2

Mutltipliziere $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Schritt 2.1.6.3

Stelle die Terme um.

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.4.1

Multipliziere $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.4.2.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.6.4.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.4.2.5.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.4

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.5

Multipliziere $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.6.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.6.4.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.6.4.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.4.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.4.6.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.6.4.6.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

Schritt 2.1.6.4.6.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

Schritt 2.1.6.4.6.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

Schritt 2.1.6.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ .

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Schritt 2.1.6.5.1

Addiere $- 2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

Schritt 2.1.6.5.2

Addiere $2 x + 2 - 2 x^{3}$ und $0$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

Schritt 2.1.6.6

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

Schritt 2.1.6.7

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 4 x^{3} + 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$0 - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$0 - 12 x^{2} + 6$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{2} + 6$ .

$- 12 x^{2} + 6$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 12 x^{2} + 6 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 12 x^{2} + 6 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x^{2} = - 6$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x^{2} = - 6$ durch $- 12$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 12 x^{2} = - 6$ durch $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 12$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 12}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 12$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 6$ heraus.

$x^{2} = \frac{- 6 (1)}{- 12}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 12$ heraus.

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {((\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe ${(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.4.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.1.2.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 4.1.2.5.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 4.1.2.5.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 4.1.2.5.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 4.1.2.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 4.1.2.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Schritt 4.1.2.5.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Schritt 4.1.2.5.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{4})$

Schritt 4.1.2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.1.2.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

Schritt 4.1.2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.1.2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.1.2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.6.2

Kombiniere $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.2

Multipliziere $2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.8.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.8.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.1.2.8.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.8.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.9

Um $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{4} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 4.1.2.12

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2 + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 4.1.2.12.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 4.1.2.12.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 4.1.2.12.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

Schritt 4.1.2.12.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.12.7

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $6 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{8 - 3 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.12.8

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.1.2.13

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

Schritt 4.3

Ersetze $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {((- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Schreibe ${(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ als $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.1

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.1.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.1.5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.5

Mutltipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.3.5

Subtrahiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ von $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 1 \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.1.2

Schreibe $- 1 \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 4.3.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}))$

Schritt 4.3.2.4.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

Schritt 4.3.2.4.2.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.3.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 4.3.2.4.2.3.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

Schritt 4.3.2.4.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 4.3.2.4.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 4.3.2.4.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Schritt 4.3.2.4.2.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 4.3.2.4.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.5

Multipliziere $(\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2} - \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.2

Multipliziere $\frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.3

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.2.6.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.5

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 4.3.2.6.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + 1 \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

Schritt 4.3.2.6.1.5.3

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3.2.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2$

Schritt 4.3.2.6.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.3.2.6.4

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.3.2.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 4.3.2.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.6.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 8}{4}$

Schritt 4.3.2.6.6.2

Addiere $- 3$ und $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2.7

Addiere $- 3 \sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{1} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2.8.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.3.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$ .

$- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 12 {(- 0.80710678)}^{2} + 6$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 7.81705627$ und $6$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 1.81705627$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.81705627$ .

$- 1.81705627$

Schritt 6.3

Bei $- 0.80710678$ , die zweite Ableitung ist $- 1.81705627$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 6$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 6$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f'' (0) = 6$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 7.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $6$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = - 12 {(0.80710678)}^{2} + 6$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.80710678$ mit $2$ .

$f'' (0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 7.81705627$ und $6$ .

$f'' (0.80710678) = - 1.81705627$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.81705627$ .

$- 1.81705627$

Schritt 8.3

Bei $0.80710678$ , die zweite Ableitung ist $- 1.81705627$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

Schritt 10