Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{8}{\sqrt{4 - x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d x} [{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 8

Kombiniere ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ und $- 8$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 11

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Schritt 14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 15

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 16

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 17

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 18

Multipliziere.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 18.2

Mutltipliziere $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Schritt 20

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 20.1

Mutltipliziere $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 20.2

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$