Analysis Beispiele

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $x \frac{2 x}{1 + x}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2 x}{1 + x}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

Schritt 1.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

Schritt 1.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

Schritt 1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

Schritt 1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $x^{2} (1 + x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.1.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Schritt 3.2.1.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $2 x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

Schritt 3.2.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Schritt 3.2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $2 x^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Schritt 3.2.3.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{3} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Schritt 3.2.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.4.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

Schritt 3.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3.2.6

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2.6.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.2.7

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3.2.7.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 3.2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{3}$