Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{8 x - 9}{6 x^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x - 9$ und $g (x) = 6 x^{2} + 1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 9] - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + 0) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) \cdot 8 - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{8 \cdot (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + 0)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $12 x$ und $0$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 + (- 12 (8 x) - 12 \cdot - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 (x \cdot x)) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x^{2}) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 12$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $96 x^{2}$ von $48 x^{2}$ .

$\frac{- 48 x^{2} + 8 + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 48 x^{2} + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $4$ aus $- 48 x^{2} + 108 x + 8$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $4$ aus $108 x$ heraus.

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x)$ heraus.

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)$ heraus.

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- (12 x^{2}) + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $27 x$ heraus.

$\frac{4 (- (12 x^{2}) - (- 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 x^{2}) - (- 27 x)$ heraus.

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.12

Schreibe $- (12 x^{2} - 27 x - 2)$ als $- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2)$ um.

$\frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (12 x^{2} - 27 x - 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$