Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x - 4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x - 4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 4}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x - 4}$ als ${(x - 4)}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 4$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$3 (- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 ({(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{{(x - 4)}^{2}}$