Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{5} \ln (x)$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{5} \ln (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$5 (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$5 (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{5}$ und $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$5 (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} + 5 (\ln (x) (5 x^{4}))$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 25 \ln (x) x^{4}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$5 x^{4} + 25 x^{4} \ln (x)$