Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11

Kombiniere $2$ und $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (3 \cos (x)) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.1.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 12.3.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.5

Ordne Terme um.

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 6 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 12.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1) + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.5.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \cos (x)$ heraus.

$\frac{2 (1) + 2 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 12.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{2 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$