Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$

Schritt 1

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 9

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $1 - \sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (- \cos^{2} (x)) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 (1 \sin (x)) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.1.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 11.3.1.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.1.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1})}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) + 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.2

Bewege $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \cos^{2} (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.3

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.4

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.5

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 (\cos^{2} (x)) - 5 (\sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 5 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.6

Ordne Terme um.

$\frac{- 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 5 \cdot 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{- 5 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.4

Faktorisiere $5$ aus $- 5 + 5 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 11.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.4.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot - 1 + 5 \sin (x)$ heraus.

$\frac{5 (- 1 + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{5 (- 1 (1) + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (x)$ heraus.

$\frac{5 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ heraus.

$\frac{5 (- 1 (1 - \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 (1 - \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$