Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x \sqrt{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x)]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})]$

Schritt 2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + 1}]$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1 + 2}{2}}]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$2 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 11

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 13.4

Dividiere $3 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$3 x^{\frac{1}{2}}$