Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $40$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $32$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 4$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Mutltipliziere $40$ mit $- 4$ .

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $160$ von $128$ .

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.2.7.3

Addiere $- 32$ und $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Schritt 1.1.3.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{2} + 40 x + 32$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $40$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $40 x$ nach $x$ gleich $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $40$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.5

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $16 x + 40$ und $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Schritt 1.3.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $16 x + 40$ durch $1$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $40$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$16 \cdot - 4 + 40$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$- 64 + 40$

Schritt 4.2

Addiere $- 64$ und $40$ .

$- 24$