Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x^{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$4 x + 7 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Schritt 4.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Schritt 4.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Schritt 4.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 x + 7 - (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{2}{x^{2} + 1}$ und $x$ .

$4 x + 7 - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Vereine die Terme

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Schritt 5.1

Um $4 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Schritt 5.3

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x + 7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$