Analysis Beispiele

$z = (4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $t$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 4 - t$ und $g (t) = {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) \frac{d}{d t} [{(9 + t^{2})}^{- 1}] + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 9 + t^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(4 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.3.2

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 3.3.7

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 3.3.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 3.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 3.3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Schritt 3.3.11.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Schritt 3.3.11.3

Schreibe $- 1 {(9 + t^{2})}^{- 1}$ als $- {(9 + t^{2})}^{- 1}$ um.

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Schritt 3.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (\frac{- 2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(4 - t) (- \frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Kombiniere $t$ und $\frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$(4 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.3.5

Um $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.3.6

Kombiniere $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ und $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2})}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2}) - 1}{9 + t^{2}}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1$ heraus.

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Schritt 3.4.5.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.4.5.1.1.1

Stelle $4$ und $- t$ um.

$\frac{- (- t + 4) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.1.1.2

Stelle $9$ und $t^{2}$ um.

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.1.1.3

Stelle $9$ und $t^{2}$ um.

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ heraus.

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2} + 9$ .

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Schritt 3.4.5.2.1

Faktorisiere $t^{2} + 9$ aus $(- t + 4) (t^{2} + 9)$ heraus.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.2.2

Faktorisiere $t^{2} + 9$ aus ${(t^{2} + 9)}^{2}$ heraus.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- ((- t + 4) \frac{2 t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.3

Mutltipliziere $- t + 4$ mit $\frac{2 t}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 4) (2 t)}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $- t + 4$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9})}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{2 (- t + 4) t + t^{2} + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8

Schreibe $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.4.5.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.8.4.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.5.8.4.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.4.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.5

Subtrahiere $2 t^{2}$ von $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.5.8.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 3.4.5.8.6.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 t$ heraus.

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 (t) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.6.1.2

Schreibe $8$ um als $- 1$ plus $9$

$\frac{- \frac{- t^{2} + (- 1 + 9) t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \frac{- t^{2} - 1 t + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.5.8.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{- \frac{(- t^{2} - 1 t) + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{- \frac{t (- t - 1) - 9 (- t - 1)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.5.8.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- t - 1$ .

$\frac{- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$

Schritt 3.4.7

Multipliziere $- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$ .

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{2} + 9}$ mit $\frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Schritt 3.4.7.2

Potenziere $t^{2} + 9$ mit $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} (t^{2} + 9)}$

Schritt 3.4.7.3

Potenziere $t^{2} + 9$ mit $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} {(t^{2} + 9)}^{1}}$

Schritt 3.4.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$- \frac{(- (t) - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4.9

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{(- (t) - 1 (1)) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t) - 1 (1)$ heraus.

$- \frac{- (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4.11

Schreibe $- (t + 1)$ als $- 1 (t + 1)$ um.

$- \frac{- 1 (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 3.4.14

Mutltipliziere $\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$