Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{e^{9 x} - 1 - 9 x}{x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{9 x} - 1 - 9 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{9 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 9 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 9 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 9 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{9 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 9 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{9 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 9 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.5

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{e^{9 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 9 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{9 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 9 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{e^{9 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.7.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.2.7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{9 x} - 1 - 9 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{9 x} - 1 - 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{9 x} - 1 - 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{9 x} - 1 - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3.5

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 9 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} + 0 - 9 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} + 0 - 9 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} + 0 - 9}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.6

Addiere $9 e^{9 x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} - 9}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} - 9}{2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} - 9}{x}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 e^{9 x} - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 e^{9 x} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.1.2

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 lim_{x \to 0} e^{9 x} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 e^{lim_{x \to 0} 9 x} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.1.4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 e^{9 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 e^{9 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 e^{9 \cdot 0} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 e^{0} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 1 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.2.3.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} - 9}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 e^{9 x} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 e^{9 x} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 e^{9 x} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}]$ .

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Schritt 5.3.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 e^{9 x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{u} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} \cdot 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} \cdot 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{9 \cdot 9 \cdot e^{9 x} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.3.7

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{81 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{81 e^{9 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5

Addiere $81 e^{9 x}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{81 e^{9 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{81 e^{9 x}}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $81 e^{9 x}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 81 e^{9 x}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $81$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 81 lim_{x \to 0} e^{9 x}$

Schritt 6.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{2} \cdot 81 e^{lim_{x \to 0} 9 x}$

Schritt 6.3

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 81 e^{9 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 e^{9 \cdot 0}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $81$ .

$\frac{81}{2} e^{9 \cdot 0}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$\frac{81}{2} e^{0}$

Schritt 8.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{81}{2} \cdot 1$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{81}{2}$ mit $1$ .

$\frac{81}{2}$