Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt{x} \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 11

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 4 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2

Vereine die Terme

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sin (x)$ heraus.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 13.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{\frac{1}{2}}}$