Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x + \ln (4 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \ln (4 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$4 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$4 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$4 + \frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 + \frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 + \frac{1}{4 x} (4 \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{1}{4 x} \cdot 4$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{4 x}$ und $4$ .

$4 + \frac{4}{4 x}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + \frac{4}{4 x}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 + \frac{1}{x}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x} + 4$