Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Schritt 3.2

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $x^{x}$ als $e^{\ln (x^{x})}$ um.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Schritt 3.2.2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Schritt 3.7

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

Schritt 3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$