Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 x + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 x + 12 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + 12 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.1

Bewege $x^{- 3}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13.6.2

Addiere $- 6$ und $1$ .

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.13.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.14

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + 12 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$8 x - 12 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.16

Kombiniere $- 12$ und $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$8 x + \frac{- 12 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$8 x + \frac{- 36}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.18

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$8 x + \frac{- 18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + 0$

Schritt 4.2

Addiere $8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$ und $0$ .

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$