Analysis Beispiele

$f (x) = 8 \sqrt{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$