Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{5}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{5}] + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 (x (20 {(x^{4} + 1)}^{4} x^{3}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 (x^{3} x^{1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 (x^{3 + 1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Addiere $3$ und $1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere ${(x^{4} + 1)}^{5}$ mit $1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $20$ mit $5$ .

$100 (x^{4} ({(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ aus $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4} + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ aus $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4}$ heraus.

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ aus $5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ heraus.

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ aus $5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$ heraus.

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4} + x^{4} + 1)$

Schritt 10.4

Addiere $20 x^{4}$ und $x^{4}$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (21 x^{4} + 1)$