Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} \cos (3 x)$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} \cos (3 x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (3 x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} (- 3 \sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$- 15 (x^{2} (\sin (3 x))) + 5 (\cos (3 x) (2 x))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 \cos (3 x) x$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$- 15 x^{2} \sin (3 x) + 10 x \cos (3 x)$