Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x + 13 x^{\frac{8}{13}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 13 x^{\frac{8}{13}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{8}{13}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{8}{13}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{8}{13}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{8}{13}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [13 x^{\frac{8}{13}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [13 x^{\frac{8}{13}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13 x^{\frac{8}{13}}$ nach $x$ gleich $13 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{13}}]$ .

$8 + 13 \frac{d}{d x} [x^{\frac{8}{13}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{13}$ .

$8 + 13 (\frac{8}{13} x^{\frac{8}{13} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$8 + 13 (\frac{8}{13} x^{\frac{8}{13} - 1 \cdot \frac{13}{13}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{13}{13}$ .

$8 + 13 (\frac{8}{13} x^{\frac{8}{13} + \frac{- 1 \cdot 13}{13}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 + 13 (\frac{8}{13} x^{\frac{8 - 1 \cdot 13}{13}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$8 + 13 (\frac{8}{13} x^{\frac{8 - 13}{13}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $13$ von $8$ .

$8 + 13 (\frac{8}{13} x^{\frac{- 5}{13}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 + 13 (\frac{8}{13} x^{- \frac{5}{13}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{8}{13}$ und $x^{- \frac{5}{13}}$ .

$8 + 13 \frac{8 x^{- \frac{5}{13}}}{13}$

Schritt 3.9

Kombiniere $13$ und $\frac{8 x^{- \frac{5}{13}}}{13}$ .

$8 + \frac{13 (8 x^{- \frac{5}{13}})}{13}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $8$ mit $13$ .

$8 + \frac{104 x^{- \frac{5}{13}}}{13}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{5}{13}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 + \frac{104}{13 x^{\frac{5}{13}}}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $13$ aus $104$ heraus.

$8 + \frac{13 \cdot 8}{13 x^{\frac{5}{13}}}$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $13$ aus $13 x^{\frac{5}{13}}$ heraus.

$8 + \frac{13 \cdot 8}{13 (x^{\frac{5}{13}})}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + \frac{13 \cdot 8}{13 x^{\frac{5}{13}}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$8 + \frac{8}{x^{\frac{5}{13}}}$