Analysis Beispiele

$f (x) = \arccos (\ln (x^{2}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arccos (x)$ und $g (x) = \ln (x^{2})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arccos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (x^{2})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} (2 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}} x$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 2}{x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}$ heraus.

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

Schritt 3.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 2}{x (x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})})}$

Schritt 3.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{2})}}$