Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (x) \cot (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- \csc^{2} (x) \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - \cot (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cot (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.5

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.1

Füge Klammern hinzu.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\cot (x) \sin (x))$

Schritt 4.2.5.2

Schreibe $- \cot (x) \sin (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Schritt 4.2.5.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} - \cos (x)$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \cos (x)$

Schritt 4.3.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - \cos (x)$

Schritt 4.3.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - \cos (x)$

Schritt 4.3.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- \csc (x) \cot (x) - \cos (x)$