Analysis Beispiele

$\ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Schritt 2.1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Schritt 2.1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 20$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Schritt 2.1.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Schritt 2.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Schritt 2.1.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

Schritt 2.1.1.2.6

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + 0)$

Schritt 2.1.1.2.7

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$

Schritt 2.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1.3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$ um.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

Schritt 2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2 x - 4$ mit $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Schritt 2.1.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.1.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Schritt 2.1.1.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 20}$

Schritt 2.1.1.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 4 x + 20$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 20$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.10

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.3.11.1

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.4

Multipliziere $(- x + 2) (2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.4.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.5.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.4.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.7.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 40 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.3

Addiere $- 8 x$ und $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 40 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.3.4

Subtrahiere $16$ von $40$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 8 x + 24$ heraus.

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Schritt 2.1.2.4.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.4.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.1.2.4.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.2.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.4.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x - 2) - 6 (- x - 2))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 2$ .

$\frac{2 ((- x - 2) (x - 6))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.6

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.8

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x + 2) (x - 6) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.2.3.3

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 2) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 6$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{2} - 4 x + 20 > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Schritt 3.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Schritt 3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Schritt 3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Schritt 3.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + 4 i$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

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Schritt 3.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Schritt 3.2.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Schritt 3.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - 4 i$

Schritt 3.2.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 3.2.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 3.2.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 3.2.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} - 4 x + 20$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 2) ((- 4) - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 2 (- 4 - 6))}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 (- 4 - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $6$ von $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 + 16 + 20)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $16$ und $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(32 + 20)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4

Addiere $32$ und $20$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{52^{2}}$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $52$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{2704}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$f'' (- 4) = - \frac{40}{2704}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $2704$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $40$ heraus.

$f'' (- 4) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $2704$ heraus.

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Schritt 5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 4) = - \frac{5}{338}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konkav, weil $f'' (- 4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, 6)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 2) ((0) - 6)}{{({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (2 (0 - 6))}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 6)}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 0 + 20)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 20)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Addiere $0$ und $20$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{20^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Potenziere $20$ mit $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{400}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$f'' (0) = - \frac{- 24}{400}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $400$ .

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $- 24$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{8 (- 3)}{400}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $400$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{- 3}{50}$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = \frac{3}{50}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{50}$ .

$\frac{3}{50}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, 6)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 2, 6)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f'' (8) = - \frac{2 ((8) + 2) ((8) - 6)}{{({(8)}^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $8$ und $2$ .

$f'' (8) = - \frac{2 \cdot (10 (8 - 6))}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$f'' (8) = - \frac{20 (8 - 6)}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 32 + 20)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Subtrahiere $32$ von $64$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(32 + 20)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Addiere $32$ und $20$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{52^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $52$ mit $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{2704}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$f'' (8) = - \frac{40}{2704}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $2704$ .

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $40$ heraus.

$f'' (8) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Faktorisiere $8$ aus $2704$ heraus.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (8) = - \frac{5}{338}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(6, \infty)$ konkav, weil $f'' (8)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(6, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 2, 6)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(6, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 9