Analysis Beispiele

$x e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $x e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.3.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.1.2.2.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Schritt 2.1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 2.1.2.4.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Schritt 2.1.2.4.3

Stelle die Faktoren in $e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x} + 2 e^{x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$e^{x} (x + 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.2.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Schritt 5.2.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Schritt 5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

Schritt 5.2.1.5

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{e^{4}}$ .

$- \frac{2}{e^{4}}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 2)$ konkav, weil $f'' (- 4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

Schritt 6.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Schritt 6.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (0) = 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- 2, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8