Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (\sqrt[4]{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{4}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot 4}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4 \cdot x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $x^{\frac{3}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.1

Bewege $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{4 (x^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}}$

Schritt 12.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3 + 1}{4}}}$

Schritt 12.1.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 12.1.5

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{4 x^{1}}$

Schritt 12.2

Vereinfache $4 x^{1}$ .

$\frac{1}{4 x}$