Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x \ln (7 x) - 5 x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x \ln (7 x) - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x \ln (7 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x \ln (7 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x \ln (7 x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x \ln (7 x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x \ln (7 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \ln (7 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (7 x)$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$5 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x$ .

$5 (x (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (\frac{1}{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x (\frac{1}{7 x} (7 \cdot 1)) + \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x (\frac{1}{7 x} (7 \cdot 1)) + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$5 (x (\frac{1}{7 x} \cdot 7) + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{7 x}$ und $7$ .

$5 (x \frac{7}{7 x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (x \frac{7}{7 x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (x \frac{1}{x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.10

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x}{x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{x}{x} + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (1 + \ln (7 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $\ln (7 x)$ mit $1$ .

$5 (1 + \ln (7 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (1 + \ln (7 x)) - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (1 + \ln (7 x)) - 5 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 (1 + \ln (7 x)) - 5$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot 1 + 5 \ln (7 x) - 5$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + 5 \ln (7 x) - 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$5 \ln (7 x) + 0$

Schritt 4.2.3

Addiere $5 \ln (7 x)$ und $0$ .

$5 \ln (7 x)$