Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.8

Da $189$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $189 x$ nach $x$ gleich $189 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $189$ mit $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + 0)$

Schritt 2.12

Addiere $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ und $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$ um.

$(- 3 x^{2} + 6 x + 189) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ mit $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $189$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe $2$ um als $- 7$ plus $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 7$ .

$\frac{3 ((- x - 7) (x - 9))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{3 (- (x) - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.5

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{3 (- (x) - 1 (7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (7)$ heraus.

$\frac{3 (- (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.7

Schreibe $- (x + 7)$ als $- 1 (x + 7)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $189 x$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x) + 1}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) + 1}$

Schritt 3.13

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)}$

Schritt 3.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Schritt 3.15

Schreibe $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ als $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ um.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Schritt 3.17

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (x + 7) (x - 9)}{x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1}$